16.07.2010

Чаму нумар адзін не з’яўляецца простым?

* Source text URL: http://primes.utm.edu/notes/faq/one.html

Нумар 1 з’яўляецца значна больш адмысловым, чым простыя лікі. Гэта падраздзяленне (будаўнічы блок) натуральнага шэрагу, такім чынам, ён толькі цэлы лік, які працягвае свае існаванне ў аксіёмах Пеана. Гэта адзіная мультыплікатыўная адзінка (1. = . 1 = для ўсіх нумароў). Гэта адзіны ідэальны лік n-й ступені для ўсіх дадатных цэлых лікаў n. Гэта адзіны натуральны лік з сапраўды адзіным дадатным дзельнікам. Але ўсе гэта не так проста. Так чаму? Ніжэй мы дадзім 4 адказы, кожны з іх будзе больш тэхнічным, чым яго папярэднік.

Адказ нумар адзін: Па вызначэнню простага ліку!

Вызначэнне яго складаецца ў наступным.

Цэлы лік, які з’яўляецца большым за 1, завецца простым лікам, калі толькі яго дадатныя дзельнікі (фактары) з’яўляюцца 1 самі па сабе.

Гэта, безумоўна,зразумела, але гэта нерэальна вырашыць пытанне “чаму?”

Адказ нумар два: У сувязі з мэтай простых лікаў.

Фармальнае паняцце простых лікаў было ўведзена Еўклідам у сваім даследаванні дасканалых лікаў (у яго “геаметрыі” класічных элементаў). Еўкліду неабходна было ведаць, калі цэлы лік n улічаны прадуктамі меншых лікаў (фактарызацыя з’яўляецца тут нетрывіяльнай), таму ён быў зацікаўлены ў тых нумарах, якія не мелі ніякіх фактараў. Выкарыстоўваючы вызначэнне, змешчанае вышэй, ён даказаў:

Асноўную тэарэму арыфметыкі

Кожны дадатны цэлы лік, большы за 1, можа быць запісаны адназначна як твор простых лікаў, з простымі фактарамі ў творы, напісаным у парадку няўбывання памераў.

Тут мы знаходзім найболей важны выгляд выкарыстання простых лікаў: яны з’яўляюцца ўнікальнымі блокамі, з якіх складаецца мультыплікатыўная група цэлых лікаў. Падчас абмеркавання пытанняў вайны і міра, вам часта даводзіцца чуць фразу: “падзяляй і пануй”. Гэты ж прынцып мае такія ж моцныя пазіцыі і ў матэматыцы. Шматлікія ўласцівасці цэлых лікаў могуць узыходзіць да ўласцівасцяў яго простых дзельнікаў, што дазваляе нам падзяліць задачы (у літаральным сэнсе) на драбнейшыя праблемы. Нумар адзін, які бескарысны ў гэтым стаўленні, паколькі а = 1. = 1 1.. .. = . Гэта значыць, падзельнасць на адзін не падае нам ніякай інфармацыі – 0.

Адказ нумар тры: Таму што адзін- гэта ўжо блок.

Не працягвайце шкадаваць, што адзінка з’яўляецца часткай важнага класа нумароў выкліку адзінак (ці дзельнікаў адзінкі). Гэтыя элементы (лікі) маюць мультыплікатыўны зваротны напрамак. Напрыклад, у звычайных ліках ёсць 2 адзінкі (1, -1). Калі мы пашыраем нашы кампетэнцыі, каб уключыць гаўсаўскія лікі {a+bi | a, b цэлыя лікі}, то мы маем 4 адзінкі {1, -1, i, -i}.

У некаторых сістэмах злічэнне ёсць бясконцае мноства адзінак.

Быў час, калі шматлікія людзі вызначалі адзінкі як простыя лікі, але гэта значэнне адзінак у сучаснай матэматыцы прымушае нас быць нашмат больш асцярожнымі з нумарам 1 (і з простымі лікамі).

Адказ нумар чатыры: Па абагульненаму вызначэнню простых лікаў.

Быў момант, калі шматлікія людзі вызначалі адзінку як просты лік, але гэта значэнне вузлоў і простых лікаў у сучаснай матэматыцы прымушае нас быць нашмат больш асцярожнымі з нумарам 1 (і з простымі лікамі). Калі мы будзем разглядаць толькі дадатныя значэнні цэлых лікаў, роля аднаго ў якасці адзінкі будзе вельмі размыта роллю іншага ў якасці асобы, аднак, калі мы глядзім на іншыя кольцы нумароў (тэхнічны тэрмін для сістэм, у якіх можна складаць, адымаць і памнажаць), мы бачым, што клас адзінак мае прынцыповае значэнне, пагэтаму ён павінен быць знойдзены перш, чым мы зможам нават вызначыць паняцце простага ліку. Напрыклад, вось як Барэвіч і Шафаревіч вызначылі просты лік у сваім класічным тэксце “Тэорыя лікаў:”

Элемент р кальца D, выдатны ад нуля і адзінкі, завецца простым лікам, калі яно не можа быць раскладзена на множнікі р = AB, ніводная з якіх не уяўляе сабою прыладу ў D.

Часам нумары з гэтай уласцівасцю завуцца непрывадзімымі, а затым імя простых лікаў пачынае выкарыстоўвацца для тых нумароў, якія, калі яны дзеляць твор а альбо b, неабходна падзяліць (гэтыя класы з’яўляюцца аднолькавымі для звычайных лікаў, – але яны не заўсёды характэрны для больш агульных сістэм ). Тым не менш, адзінкі з’яўляюцца неабходнымі прэкурсорамі для простых лікаў, пагэтаму адзінка трапляе ў клас адзінак, а не простых лікаў.

Гл., напрыклад, у частцы пра факторынг простых лікаў Кароткія ўводзіны ў Алгебраічную тэорыю лікаў.

ok ok